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文章关键词:永利爆大奖a56,正规化定理

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  1、正规矩阵定义: 下列类型的矩阵都是正规矩阵: 实对称矩阵 AT=A; 反实对称矩阵 AT=-A; 正交矩阵 AT=A-1; 酉矩阵 AH=A-1; Hermite矩阵 AH=A; 反Hermite矩阵 AH=-A; 对角矩阵 2、酉相似 3、Schur 定理 Schur 定理 引理 正规上三角矩阵是对角矩阵 证明 设n阶矩阵A是正规上三角矩阵,则 比较等式两边,可得 充分性 由schur定理知,A酉相似于一个上三角矩阵T, 正定矩阵 如果对于任意非0的向量X,成立 f (X)=XHAX 0 则称二次型f (X)是正定二次型,称A为正定矩阵. 定理 证明 设?是AHA的特征值,x是相应的特征向量,则 AHAx= ?x 由于AHA为Hermite 矩阵,故?是实数。又 定理 证明 设x是方程组AHAx=0的非0解, * * 设 满足 第三节 正规矩阵与酉对角化 (1)任意复方阵酉相似于一个上三角矩阵。即 (2)任意实方阵正交相似于一个上三角矩阵。即 定理 ,则A酉相似于一个对角矩阵的充分必要条件是A为正规矩阵,即 证明 必要性 正规矩阵的性质: 1、正规矩阵有n个线、正规矩阵属于不同特征值的特征向量是正交的; 3、与正规矩阵酉相似的矩阵都是正规矩阵。 解 显然A满足 求得对应的线 判断A是否为正规矩阵,永利爆大奖a56如果是,将其酉对角化 即A是Hermite矩阵,从而是正规阵 由 得A的特征值 即酉变换矩阵为 则 经过验证它们两两正交。 因此,只需将它们单位化得: 实际上,对于正规矩阵来说,属于不同特征值的特征向量相互正交。 定理 设A是n阶Hermite矩阵,则下列命题等价 (1) A是正定矩阵。 (2) A与单位矩阵合同。 (3) A的n个特征值全是正数。 (4) A=QHQ,Q是可逆矩阵。 (5) A的顺序主子式都大于0。 例 判断矩阵的正定性 提示:矩阵A为Hermite矩阵,只需求出其特征值,若特征值有三个,且全为正数,A是正定矩阵。 推论: 设A是n阶正定的Hermite矩阵,则 (1) A-1也是正定矩阵。 (2) detA0 (3) trA大于每个特征值 同理可证AAH的特征值也是非负实数。 则由 得

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